Проверьте кабель

либо карта не работает, возможно плохо в слот вставлена или незапитана. либо кабель плохо подключён, как вариант монитор не может найти сигнал, тогда в меню монитора выбрать надо способ подключения.

Ну как бы так и должно по идее быть.Когда пк выключен,то он никак не сможет передать изображение на монитор

Просто когда выключаешь ПК,то и монитор тоже отключай